16 giocatori devono attraversare un ponte formato da 18 coppie di lastre di vetro indistinguibili
Ogni coppia è formata da una lastra di vetro temperato (infrangibile) e una lastra di vetro comune, che si spezza certamente sotto il peso di una persona.
I giocatori affrontano il ponte in una successione prestabilita. Ovviamente, chi è dietro può vedere e ricordare su quali lastre passano i giocatori davanti a sé.
Calcolare la probabilità di superare indenni il ponte, in funzione della propria posizione nell'ordine di attraversamento
Sarebbe k€(0, 1) dove
K = (1/2)^18 per il primo concorrente
k = (1/2)^(18-i) dal secondo concorrente in poi, se il concorrente precedente e’ caduto all’i-esima coppia
K=1 se il concorrente precedente ha superato indenne tutta la sequenza
si considera il primo giocatore: se cade al primo ostacolo, il secondo giocatore avrà da superare solo 17 ostacoli. Se invece il primo cadrà al secondo ostacolo, il secondo giocatore avrà da superare 16 ostacoli e così via. Ovviamente se il giovatore davanti a noi supera tutti gli ostacoli oppure cade all ultimo ostacolo noi abbiamo automaticamente vinto.
Lo stesso ragionamento lo fa il terzo giocatore con il secondo.
la probabilità che l'i-esimo concorrente superi indenne la k-esima coppia di lastre di vetro e poi, o si salvi se era l'ultima, o cada, è (1/2)^(k+i). Questo ipotizzando che lui e i suoi predecessori abbiano fatto tesoro della fortuna/sfortuna dei partecipanti che li hanno preceduti senza mai commettere errori. Ho fatto il ragionamento che segue (e non so se è corretto, sinceramente). Dunque, siano N i passi, ovvero le coppie di lastre. Il primo che passa ha (1/2)^k1 probabilità di superare indenne la k1-esima coppia di lastre di vetro, con 0<=k1<=N, cancellando al contempo l’incognita di quali siano sicure per i compagni che seguono, e quindi probabilità (1/2)^k1 * (1-1/2)^1 = (1/2)^(k1+1) di essere caduto o essersi salvato subito dopo. Il secondo giocatore, immaginando non commetta errori sulle prime k1, ne supererà sicuramente k2>=k1, avendo aleatorietà solo sulla differenza k2-k1, ovvero avrà probabilità (1/2)^(k2-k1+1) di essere arrivato sano e salvo fin lì e poi, essere caduto o essersi salvato se era l'ultimo passo, questa moltiplicata per la probabilità (1/2)^(k1+1) che al primo le cose siano effettivamente andate in quel modo. Risolvendo, fa (1/2)^(k2+2). Procedendo così di concorrente in concorrente, l’i-esimo concorrente avrà probabilità (1/2)^(ki+i) di arrivare fino a ki. Se vogliamo che sia salvo, ki=N, da cui (1/2)^(N+i). Quindi, la probabilità che si salvi il 16° concorrente su un ponte di 18 coppie di lastre è (1/2)^(18+16)=(1/2)^34.
sicuramente i primi 15 superano almeno 15 lastre pertanto bisogna considerare la probabilita che 16 concorrenti possano superare 3 lastre. la probabilita di superare tutte e tre le lastre per ogni singolo concorrente è di 1/8.
i tentativi pero sono 16. quindi io faccio 1/8 per 16 ei ritrovo come probabilità 2 che è sbagliato!!
inoltre in realta 1/8 vale solo per il primo concorrente il secondo avra una probabilita maggiore e cosi via....
è modellabile con una catena di Markov a tempo discreto in cui ad ogni tempo t si ha una distribuzione del numero di persone ancora in vita. Le probabilità di transizione non sono ovviamente omogenee poiché dipendenti dal tempo (più si va avanti col tempo più risulta essere probabile la morte dei concorrenti che ricoprono di volta in volta le posizioni iniziali). Se si suppone che ad ogni tempo, tutti i giocatori si muovano simultaneamente, basta poi porsi al tempo t = 34 (16+18), poiché l'ultimo concorrente si muoverà la prima volta al tempo 16 e 18 sono le piastrelle vetrate da superare e calcolare la prob. che il numero di concorrenti in vita sia maggiore o uguale ad 1.
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