3^101 o 4^100. chi è più grande?
Dal momento che log è strettamente crescente, posso considerare equivalentemente
101*log(3) vs 100*log(4)
2^10 = 1024 ≈ 1000 = 10^3
=> 10*log(2) ≈ 3
=> log(2) ≈ 0.3 (sottostima)
=> log(4) = 2log(2) ≈ 0.6 (sottostima)
3 ≈ 100/32 (sovrastima)
=> log(3) ≈ log(100/32) = log(100) - log(32) = 2 - 5*log(2) ≈ 2 - 5*0.3 ≈ 0.5 (sovrastima)
101*log(3) ≈ 101*0.5 = 50.5 (sovrastima)
100*log(4) ≈ 100*0.6 = 60 (sottostima)
=> 4^100 > 3^101
In maniera più rigorosa:
2^10 = 1024 > 1000 = 10^3
10*log(2) > 3
log(2) > 0.3
log(4) = 2*log(2) > 0.6
3 < 100/32
log(3) < log(100/32) = 2 - 5*log(2) < 0.5
100*log(4) > 100*0.6 > 101*0.5 > 101*log(3)
=> 4^100 > 3^101
3¹⁰¹ = 3¹⁰⁰•3 = 9⁵⁰•3
4¹⁰⁰ = 16⁵⁰
16⁵⁰ <> 9⁵⁰•3 ⇒(16/9)⁵⁰ <> 3
La prima quantità è una potenza con base a>1, ciò comporta che ad un possibile aumento dell'esponente all'infinito il valore corrispondente diverge positivamente. Perciò 4¹⁰⁰>3¹⁰¹
About Post Author
