Quanto fa il numero immaginario i
(i è per definizione la radice quadrata di -1) elevato a se stesso? Ricordiamoci che i elevato a una potenza dà come risultato un valore ciclico di periodo 4
i^1 = i
i^2 = -1
i^3 = -i
i^4 = 1
i^5 = i
i^6 = -1
i^7 = -i
i^8 = 1
In generale, per ogni n >= 0
i^4n +0 = 1
i^4n +1 = i
i^4n +2 = -1
i^4n +3 = -i
Soluzione
Partiamo dalla formula di Eulero:
e^(i*x) = cos(x) + i*sen(x)
Sostituiamo ora a x il valore p/2 (p=pigreco):
e^(i*p/2) = cos(p/2) + i*sen(p/2)
e^(i*p/2) = 0 + i*1
Quindi avremo:
i = e^(i*p/2)
Adesso eleviamo tutto alla i.
i^i = [e^(i*p/2)]^i = e^(i*i*p/2) = e^(i^2*p/2) = e^(-p/2)
Calcolando questo valore si ottiene 0,207879576... che è un normalissimo numero reale
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