siano a, b, c numeri che soddisfano le seguenti equazioni, trovare il resto
a⁵+b⁵+c⁵=99549
a⁵+b⁵+c⁵ ≡ 21 mod 78
proviamolo:
a+b+c=9
a²+b²+c²=99 1)
a³+b³+c³=999
osserviamo che
a+b=9-c
a+c=9-b 0)
c+b=9-a
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)
sostituendo le prime 2 delle 1) ho
ab+bc+ac=-9 2)
(a+b+c)³=a³+b³+c³+3(9-c)(9-b)(9-a)
da cui
X=(a+b)(a+c)(b+c)
ovvero
X=(9-a)(9-b)(9-c)=-90 3)
sviluppando
-abc-9(ab+bc+ac)-9²(a+b+c)+9³=-90
da cui usando la 1) 2) 3)
Y=abc=9 4)
sussiste l′identità: 5)
a⁵+b⁵+c⁵=(a+b+c)⁵-5(a+b)(a+c)(b+c)[(a+b+c)²-(ab+ac+bc)]
sost in 5) 0) 1) 2) 3) 4)
(a²+b²+c⁵)=99549
e
a⁵+b⁵+c⁵ ≡ 21 mod 78
il resto è 21
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