curiosità riguardo i cerchi su un reticolo
il reticolo è composto da tutti i punti del piano che hanno entrambe le coordinate intere.
preso un qualsiasi numero intero positivo n, esistono cerchi che contengono - tra interno e bordo - esattamente n punti del reticolo.
La dimostrazione di questo fatto è simpatica, e la ripropongo. Si parte da scegliere un punto particolare, con una coordinata irrazionale e una razionale, nella fattispecie il punto P = (√2,1/3) (questa scelta non è unica, se ne potrebbero prendere altri, ma questo funziona). Come dimostreremo tra un attimo, ciascun punto del reticolo ha distanza diversa da P. Dando per buono questo fatto, possiamo ordinare tutti i punti del reticolo secondo la loro distanza da P, a partire dal più vicino, e via a seguire. Per essere concreti, e con riferimento alla figura, il punto più vicino a P è (1,0), seguito da (2,0), e poi (1,1), (2,1), (1,-1), e così via. Alcune distanza sono molto simili tra loro (e visivamente i cerchi quasi si sovappongono), ma sono sempre un po' diverse. Il gioco è fatto: basta prendere una serie di cerchi, tutti con centro in P, e aumentarne via via il raggio, costruendolo pari alla distanza tra l'n-esimo punto del reticolo e P. Ogni cerchio conterrà - tra bordo e interno - esattamente n punti del reticolo
Supponiamo che due punti (a,b) e (c,d) del reticolo siano equidistanti da P, cioè, per il teorema di Pitagora:
(a-√2)² + (b-1/3)² = (c-√2)² + (d-1/3)²;
a² + 2 - 2√2a + b² + 1/9 - (2/3)b = c² + 2 - 2√2c + d² + 1/9 - (2/3)c;
3a² + 3b² - 3c² - 3d² - 2(b-d) = √2(6a - 6c).
In questa equazione, il numero a sinistra è intero (perché a, b, c e d sono tutti interi), mentre il numero a destra è il prodotto di un numero irrazionale (√2) per un intero (6a-6c). L'unica possibilità è che entrambi i membri siano uguali a 0, cioè 6a-6c = 0, e quindi a = c. Utilizzando questo risultato, possiamo riscrivere la prima equazione come:
(b-1/3)² = (d-1/3)².
Questo comporta che b-1/3 = ±(d-1/3). La soluzione b - 1/3 = -d + 1/3 equivale a b-d = 2/3, che non è accettabile dato che b e d sono interi e la loro differenza non può essere 2/3. Resta b + 1/3 = d + 1/3, cioè b = d. Quindi, se due punti (a,b) e (c,d) sono equidistanti da P, si deve avere necessariamente (a,b) = (c,d), cioè i due punti sono coincidenti. Detto altrimenti: punti distinti del reticolo hanno distanza differente da P.
Questo risultato è stato formulato dal matematico polacco Hugo Steinhaus
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