deduce i due risultati : z1= -i*sqrt(2) z= i*sqrt(2) Ho cercato un approccio trigonometrico.
Procedendo in notazione "cartesiana" con z = x + iy, il sito trova due equazioni per x ed y (che sono entrambi numeri reali). Lavorando sulle equazioni si arriva alla condizione:
xy(x²-y²) = 0,
che fornisce 3 possibilità: x = 0, y = 0, oppure x² = y².
Il calcolo continua mostrando che il caso x² = y² non dà luogo a soluzioni accettabili. Al contrario, x = 0 e y = 0 corrispondono a due soluzioni in cui z è immaginario puro oppure reale puro (perché z = x + iy).
si parte scrivendo z = x + iy, e si arriva a scrivere un sistema per le variabili x e y.
Una soluzione del sistema è x = 0, y = ±√2, che vuol dire z = ±i√2.
Lo stesso per la soluzione reale, dove y = 0 (quindi z è reale puro), x = ±√2.
un metodo differente, più "trigonometrico", spero possa essere utile. Scrivo in notazione esponenziale z = 𝜌eⁱᵠ e sostituisco nell'equazione di partenza:
𝜌⁴e⁴ⁱᵠ = 𝜌² + 2.
Da notare che il membro di destra 𝜌² + 2 ∈ ℝ, quindi deve esserlo anche il membro di sinistra, cioè e⁴ⁱᵠ deve essere un numero reale. Le uniche due possibilità sono e⁴ⁱᵠ = ±1 (anche 𝜌 = 0 sarebbe di principio una possibilità, ma chiaramente non soddisfa l'equazione).
Ci sono quindi due casi:
𝜌⁴ - 𝜌² - 2 = 0;
𝜌⁴ + 𝜌² - 2 = 0.
Queste sono due equazioni biquadratiche, che si possono risolvere nell'incognita 𝜌². La prima dà come risultati 𝜌² = 2 oppure -1, chiaramente -1 non è accettabile, la seconda dà 𝜌² = -2 e +1, chiaramente -2 non accettabile. Concludiamo con due possibilità: 𝜌² = 1 e 𝜌² = 2.
Sostituendo 𝜌² = 1 nell'equazione di partenza si ha e⁴ⁱᵠ = 3, che non è possibile perché |e⁴ⁱᵠ| = 1 ≠ 3. Rimane quindi 𝜌² = 2, cioè 𝜌 = √2 (dato che 𝜌 ≥ 0). Sostituendo nell'equazione di partenza:
4e⁴ⁱᵠ = 4 ⇒ e⁴ⁱᵠ = 1.
Questo vuol dire 4i𝜑 = 2k𝜋i (k intero) che porta ai 4 valori 𝜑 = 0, 𝜋/2, 𝜋, 3𝜋/2, in corrispondenza dei quali eⁱᵠ = 1, i, -1, -i (sono le quattro radici quarte dell'unità).
Per concludere, i quattro possibili valori di z = 𝜌eⁱᵠ sono ±√2 e ±i√2.
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