Direi che per x<4 avremo a che fare con un infinitesimo di grado maggiore di 1 e quindi la serie convergerà.

una volta esclusi i valori x > 4 che farebbero divergere il termine generale della serie. Va poi dimostrato che per i valori x< 4 la serie convergere. Io procederei facendo un confronto asintotico con la serie di termine generale 5^n^(x-5) -1 che si ottiene sostituendo sin(1/n^5) con 1/n^5 in quanto infinitesimi equivalenti. Poi userei il criterio della radice per dimostrare la convergenza per i valori x < 4.