tre vettori linearmente indipendenti in R^4
generano un sottospazio in R^4 avente dimensione 3, Il motivo è la definizione di dimensione
la dimensione coincide con il numero di vettori?
No. La dimensione è il numero di vettori di un sistema di generatori linearmente indipendente
quindi in questo caso essendo solo 3 i vettori linearmente indipendenti non possono generare uno spazio vettoriale di dimensione 4 ma generano un suo sottospazio di dimensione 3...ho capito bene? In questo caso specifico è possibile sapere se i 3 vettori sono anche una base?
3 vettori linearmente indipendenti generano uno spazio vettoriale di dimensione 3: R³
Non possono generare uno spazio vettoriale di dimensione 4, cioè R⁴.
Sono una base di R³ sì
attenzione, però, in questo caso lo spazio vettoriale generato da questi 3 vettori non è ℝ³, ma è un sottospazio di ℝ⁴ di dimensione 3. I tre vettori formano una base di questo sottospazio, non di ℝ³. È vero poi che questo sottospazio è isomorfo ad ℝ³, ma mi pare importante sottolineare la differenza.
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