Che rapporto c'è tra la diagonale AD e il lato AB di un pentagono regolare?
2*cos(π/5)=2*cos(36)
Tutti gli angoli ai vertici del pentagono sono di 3π/5. Il triangolo AED ad es. è isoscele e quindi gli angoli alla base sono pari a (π-3π/5)/2=π/5. La base AD è quindi 2Lcos(π/5) dove L è il lato quindi il rapporto è 2*cos(π/5)
Chiamando A l'angolo dei vertici grigi e B gli angoli di ampiezza HDC, è vero che:
3A+2B=180
A+2B=108 da cui segue che A=B=36°
Considerando che AD×cos(72°)=AB/2
Allora:
AD/AB = 1/[2cos(72°)] = sec(72°)/2
Detto a il lato del pentagono regolare e d la sua diagonale, è noto che il rapporto tra le loro lunghezze è
d/a = fi.
Avendo indicato con fi il numero di Fidia, ovvero il rapporto aureo.
Dimostriamolo.
Dall’osservazione della figura si noti che ABHE è un parallelogramma e quindi BH = AB = a.
Pertanto DH = d-a.
Se uniamo tra loro tra i punti J e H otteniamo il segmento JH = DH = a.
(quest’ultima uguaglianza è facilmente deducibile dalla congruenza dei triangoli JHD e EID per esempio)
Infine, dalla similitudine dei triangoli ABD e IHD, possiamo scrivere.
BD/AB = BH/JH ovvero
d/a = a/(d-a).
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