dimostrare senza l'ausilio grafico che la funzione Y = x^5+x^3+1 interseca l'asse delle ascisse in un solo punto?
La funzione è somma di due funzioni strettamente monotone crescenti (x⁵ e 1+x³), per cui è a sua volta strettamente monotona crescente, quindi iniettiva. Quindi, se c’è un’intersezione, è unica. E un’intersezione c’è senz’altro perché Y(-1) = -1 < 0 e Y(1) = 3 > 0, per cui per il teorema degli zeri esiste (almeno) un punto in cui Y = 0
anche
y=f(x) è definita per ogni x Reale ed è Continua e Derivabile; la f'(x) è >0 su tutto R. Esiste almeno un x che rende y negativa, ed uno che la rende positiva (basta prendere x "molto negativo" o "molto positivo", risp.); ciò basta per dire che f(x) si annulla certamente in un solo punto.
Fai la derivata prima e scopri che è
y'=5x^4+3x^2
che è sempre positiva o nulla.
Quindi se hai una funzione con derivata prima positiva con flesso in 0 è sempre crescente.. se p sempre crescente e hai f(-1)=-1 e f(1)=3
Deve esistere uno zero tra -1 e 1 ed esso è unico
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