funzione y=(e^x-1)/x analizzare il segno della derivata
La derivata prima è y'(x) = (x·𝑒ˣ-𝑒ˣ+1)/x². Per studiarne il segno, basta studiare il segno di x·𝑒ˣ-𝑒ˣ+1. Questo di fatto richiede un piccolo studio di funzione separato, perché l'equazione f(x) = x·𝑒ˣ-𝑒ˣ+1 = 0 non si può risolvere in modo banale.
Per x → -∞ si ha f(x) → 1, per x → +∞ si ha f(x) → +∞. La derivata prima di f per fortuna si semplifica: f'(x) = x·𝑒ˣ, che è positiva se e solo se x > 0. Quindi f è decrescente per x < 0, crescente per x > 0, e quindi x = 0 è un punto di minimo assoluto. Dato che f(0) = 0, si trova finalmente che f(x) > 0 per ogni x ≠ 0. In definitiva, è corretto che la derivata prima di y è sempre positiva, per cui y è sempre crescente.
una f: R-->R convessa e per y reale fissato il rapporto incrementale [f(x)-f(y)]/[x-y] è non decrescente
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