Immagina tu stia camminando da qualche parte, per esempio su una montagna. Il terreno che tu stai calpestando nel punto p(x,y) sia la tua funzione f(x,y). La.derivata direzionale in p(x,y) ti da indicazione della fatica che farai a muoverti lungo la direzione generica u(x,y) ossia di quanto sia la salita/discesa nell'intorno di p(x,y) lungo u.

Ho sempre un 'cammino'? Nel senso che possono esserci funzioni in cui non ho una superficie su cui posizionarmi? ( Mi viene in mente il cilindro vuoto infinito) in questo caso come faccio ?

se non hai superfici.su cui posizionarti significa che sei fuori dal dominio. E lì non puoi farci niente.

inoltre, un altro esempio, che potremmo:

Prendi una retta parallela al piano x,y , passante per il punto Po e avente la direzione data...
Poi considera il piano, contenente tale retta, che taglia verticalmente (cioè parallelo all'asse Z) il grafico della tua funzione che è una superficie di R^3 (una specie di lenzuolo) se la tua funzione è del tipo z=Z(x,y)
L'intersezione di questa superficie col piano considerato dà luogo ad una curva che è in pratica del tipo k=k(t) dove la coordinata t viene presa sulla retta avente la direzione lungo la quale calcolare la derivata... quindi ragioni come si ragiona per le funzioni di una variabile

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le fuzioni in 2 variabili (più facili da visualizzare) sono come delle superfici. ad ogni punto sul piano (x,y) corrisponde una certa altezza z.

ciascun punto di questa superficie, laddove è fattibile, ha un piano tangente ad essa in quel punto.

ora, se prendi la proiezione sul piano (x,y) di quel punto della superficie, e tieni presente sia il punto stesso della superficie che il piano tangente, puoi visualizzare più facilmente la derivata direzionale.

dato il piano tangente, per quel punto di tangenza passano infinite rette: la derivata direzionale è la pendenza di una di quelle rette, individuata da una direzione scelta partendo dal punto (x,y) sul dominio.

in pratica è come se tagliassi la tua superficie con un piano trasversale ortogonale a quello (x,y) orientato lungo una certa direzione: ciò che ottieni è una funzione bidimensionale lungo quel piano, su cui puoi studiare una derivata semplice.