Determinare le soluzioni razionali dell'equazione 7x³ + 18x²y - 6xy² + 9y³ - 1 = 0
7x³+18x²y-6xy²+9y³-1=0
Può fattorizzarsi come
(x+3y)(7x²-3xy+3y²)=1
che impone
a)
x+3y=1
7x²-3xy+3y²=1
che ha due soluzioni razionali non intere
x=-1/5; y=2/5
x=2/5; y=1/5
b)
x+3y=-1
7x²-3xy+3y²=-1
che non ha soluzioni reali Δ < 0
ma i due fattori potrebbero valere r/s e s/r con s, r interi positivi
Si puó anche supporre
x=p/q
y=t/u
q, u ≠0
che sostituendo porta a
per r/s=s/r=1
a
pu +3tq=qu
7p²u²-3ptqu+3t²q²=q²u²
da cui
(pu +3tq)²=7p²u²-3ptqu+3t²q²
e
-2p²u²+3pqtu+2q²t²=0
con soluzioni
p≠0; u=-qt/(2p)
p≠0; u=2qt/p
p=0, q≠0, t=0
7x^3 +18x^2y-6xy^2+9y^3 - 1 =0
Ordino i termini dell'equazione in modo da ottenere gli accostamenti similitudinali:
7x^3+9y^3+18x^2y-6xy^2-1=0
Ora rendo cerco di ottenere binomi "x+y" come segue:
9x^3+9y3 - 2x3 +18x^2+18xy^2 +
- 24xy^2 = 1 => ora trasporto in via transitoria i termini complementari negativi per evitare confusione al 2° membro e metto in evidenza i coefficienti dei termini simili:
9(x3+y3) + 18xy(x+y)- 2x^3-24x^2-1=0=>
9[(x+y)(x^2-xy+y^2]+182xy(x+y=
= 2x[(x^2+y^2) +23y^2] +1 =>
=> (x+y)[9(x^2+y^2)-9xy)+18xy=
= 2x[(x+y)^2 - 2xy +23y^2]+1=
=>(x+y){9(x+y)^2-2•9xy+18xy=
=2x(x+y)^2-5xy+24y^2 +1=>
=>9(x+y)^3-2(x+y)^2+y(x+y)+13xy-24y^2 = 1=>
=>9(x+y)^3-2(x+y)^2+y(x+y)+
+y(x+y)+12x +24y =1=>
=>9(x+y)^3 - 2(x+y)^2+2y(x+y)+
+ 12(x+y) + 2y = 1=>
=>9(x+y)^3-2(x+y)^2+(2y+12)•
• (x+y) +2y =1
Impongo : x+y =k
y = h e sostituisco :
9k^3-2k^2+(2h+12)k+2h-1= 0
Pongo k in evidenza ottenendo:
K[(9k^2-2k+ (2h+12)] = 1=>
K ' = 1 = x+y;
k ' '= 1+/-√((1-9(2h+12)
Affinché si abbiano soluzioni realiop deve essere :
1-18h- 108>0 =>
-18h > 107=> h<107/18.= 6
h = y<6
k = x+y =1=> x=6
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