Sia p un numero primo della forma p = 4k + 1 (k>0). Determinare le soluzioni razionali dell'equazione X² - pY² + 1 = 0
Tra tali soluzioni razionali quante sono quelle intere?
La
x²-py²+1=0 (1)
è la eq.ne di Pell negativa
se p è um primo
p=4k+1 k>0
p si può scrivere come
p=n²+m² in modo unico
nota una sol fondamentale (x₁,y₁) si ricavano le infinite altre soluzioni per ricorrenza
posto (R,S) sol della eq.ne di Pell positiva associata
x²-py²=1 (2)
con
R=2a²+1
S=2ab
e a,b sol fond della (1)
le sol della (1)
saranno per ricorrenza
xₙ₊₁=Rxₙ+pSyₙ
yₙ₊₁=Sxₙ+Ryₙ
Le soluzioni razionali:
partendo dalla (1)
x²-py²=-1
se elevo al quadrato ambo i membri
pervengo alla
(x²+py²)²-p(2xy)²=1
ovvero
t²-pu²=1 (3) del tipo (2)
con (4)
t=x²+py²
u=2xy
questa (3) dividendo m.a.m. per u² diviene
(t/u)²-p=(1/u)²
(t/u)²-(1/u)²=p
(t/u+1/u)(t/u-1/u)=p
ponendo
(t/u+1/u)=v
(t/u-1/u)=p/v
si ha dal sistema:
t/u=(v+p/v)/2
1/u=(v-p/v)/2
infine
t=(v²+p)/(v²+p)
u=2v/(v²-p)
v∈ℚ
v²≠p
reintroducendo le 4
x=±√p/√(v²-p)
y=±v/(√p√(v²-p))
e
x=±v/√(v²-p)
y=±1/√(v²-p)
che richiedono tuttavia
p e/o v²-p quadrato perfetto *
e
p≠v², pv≠0
* ponendo p=q² si risolve uno dei problemi della prima serie di soluzioni
ponendo
v²-p=r²
p=v²-r²=(v-r)(v+r)
si ha
v-r=1
r=v-1
v+r=p
2v-1=p
v=(p+1)/2
e
r=(p+1)/2-1=(p-1)/2
il numero di soluzioni razionali è limitato ed è dato da
x=±2q/(q²-1)
y=1/(q(q²-1))
e
x=±(q²+1)/(2(q²-1))
y=±1/(q²-1)
con p=q²
se m, n sono univocamente determinati da p, le soluzioni razionali devono essere espresse in funzione di m, n
x=±(n²+m²+1)/(2(n²+m²-1))
y=±1/(n²+m²-1)
p=n²+m²=4k+1 primo (n m unici per un dato p)
n=2r
m=2s+1
About Post Author
