perché la somma degli angoli interni ad un triangolo è sempre uguale 180°
Sia ABC un triangolo scaleno.
Siano q, s, t tre rette ottenute prolungando rispettivamente i segmenti AB, BC, AC.
Sia r una retta passante per A e parallela a s.
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Risulta:
β’=β dato che i lati di un angolo sono rispettivamente paralleli ai lati dell’altro.
γ’=γ essendo angoli alterno interni.
Pertanto:
α+ β+ γ=α+ β’+ γ’=angolo piatto=180°
siamo nella geometria euclidea dove vale il 5 postulato di Euclide. Nelle geometrie non euclidee, dove non vale il 5 postulato, la somma non è uguale a 180°, ma può essere maggiore o minore di 180°
Il risultato enunciato vale in geometria euclidea ( è uno dei risultati che dipendono dall’assunzione del postulato dell’unicità della parallela a una retta condotta da un punto esterno ad essa), non vale nella geometria assoluta ( che non assume il postulato “ euclideo”) dove vige un teorema più debole ( la somma degli angoli di un triangolo equivale al più a un angolo piatto). Ci sono dimostrazioni specifiche del teorema, come quelle presentate nei link in altri commenti. Questo enunciato, in geometria euclidea, si può estendere al problema più generale degli angoli interni di un poligono di n-lati: la dimostrazione più semplice di questo enunciato fa uso del teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo. In questo modo si ottiene una semplice relazione chiusa che esprime per ogni n>=3, la somma degli angoli interni di un n-poligono
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