A) teorema dei carabinieri

per ogni n€ N è 0<= x_n=(1/n)*(2/n)*....*((n-1)/n)*(n/n)<=1/n, quindi x_n--->0.

B) criterio del rapporto

|x_(n+1)/x_n|= (riordinando un po' i vari fattori) = [(n+1)!/n!]*[(n/(n+1))^n]*[1/(n+1)] = [(n/(n+1))^n]--->1/e. 1/e è minore stretto di 1 e quindi il criterio del rapporto assicura che x_n--->0.

C) criterio del confronto asintotico

(basta applicare la formula di Stirling)

x_n=n!/(n^n) è asintotico a sqrt(2pi*n) * [(n/e)/n]^n= sqrt(2pi*n)/(e^n), che tende a 0 (l'esponenziale vince), quindi anche x_n tende a 0.

Si può fare anche col criterio della radice, utilizzando la formula di Stirling