Dimostrare che l'angolo Theta è indipendente dalla lunghezza dei lati dei due triangoli equilateri
Mi è venuto naturale farlo per via trigonometrica. Qualcuno vuole cimentarsi utilizzando la geometria pura?
i triangoli ABE e BCD sono uguali; quindi ad es. AEB=y. Se F è il pto dove si trova theta, allora FED=60+y,FDE=60-y,EFD=60, theta=120.
Si può dimostrarlo usando la formula di Bretschneider, secondo cui l'area di un quadrilatero è equivalente a
(A^2+B^2-C^2-D^2)/4 * Tan[x]
Dove {A,B} e {C,D} sono le coppie di lati opposti e x è il complementare dell'angolo Θ considerato nel problema.
Consideriamo quindi il quadrilatero ACED, e chiamati a e b i lati dei due triangoli equilateri dati, usando la formula menzionata e il teorema del coseno avremo
Area[ACED] = [(a+b)^2 + a^2 + b^2 - ab - a^2- b^2]/4 * Tan[x]
Ma Area[ACED] = Sqrt [3]/4(a^2+b^2+ab)
Quindi
[(a+b)^2 + a^2 + b^2 - ab - a^2- b^2]/4 * Tan[x] = Sqrt [3]/4(a^2+b^2+ab)
Ovvero Tan[x] = Sqrt[3]
Cioè x = 60° e Θ = 120°
Consideriamo una rotazione di centro B e dell'angolo di 60 gradi. L'immagine del punto A è C e del punto E è D. Questa rotazione porta il segmento AE al segmento CD. Questi segmenti formano l'angolo della rotazione, cioè 60 gradi. Ne segue che theta misura 120.
Inoltre:
Prolungando i lati AC e ED arriviamo alla mia costruzione .I triangoli ACE e ADB sono congruenti . Nel quadrilatero OECD gli angoli CDO e OEC sono supplementari quindi lo sono anche i due angoli DCE e DOE Uno è 60 gradi e l'altro 120 come volevasi dimostrare.
Dimostrazione Geometrica
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