Sia { z'=(cos^2(z))/x ; z(1)=π
Sia { z'=(cos^2(z))/x ; z(1)=π e sia la soluzione (variabili separabili) data da tg(z)=ln(x) Perché z=arctan(ln(x))+π ?
Il dominio della soluzione massimale del problema di Cauchy deve essere un intervallo aperto incluso in (0,+oo) e contenente 1.
Guardiamo solo l'equazione e cerchiamone soluzioni definite in intervalli di quel tipo. Fra queste ci sono le soluzioni costanti, i cui valori sono gli zeri di cos^2. Ci interessano in particolare le soluzioni
z_1(x)=pi/2 e
z_2(x)=3pi/2.
Osserviamo che cos^2 è lipschitziana in R e che x-->1/x è continua in (0,+oo). Ciò implica che ogni problema di Cauchy ha soluzione massimale unica. L'unicità impedisce ai grafici di due soluzioni di intersecarsi. Allora i grafici delle soluzioni sono le costanti e certi grafici compresi fra due costanti, zeri consecutivi di cos^2. In particolare le soluzioni sono limitate. Da fatti generali segue che sono globali, cioè definite in (0,+oo).
Quella del problema specifico, allora, assume valori in (pi/2,3pi/2) e l'equazione può effettivamente essere scritta nella forma
z'(x)/cos^2(z(x))=1/x.
La soluzione del problema di Cauchy dato si ottiene integrando fra 1 e il generico x>0 i due membri:
int_1^x z'(t)/cos^2(z(t)) dt
= ln x.
Con la sostituzione z(t)=y e ricordando che z(1)=pi, il primo membro diventa
int_pi^{z(x)} dy/cos^2(y).
Attenzione: siccome pi e z(x) appartengono all'intervallo
(pi/2,3pi/2), qui la funzione integranda è più precisamente la RESTRIZIONE di 1/cos^2 a quell'intervallo e ci interessa la sua prinitiva nulla in pi, che chiamo f. Questa è la RESTRIZIONE di tan a quell'intervallo e il valore dell'integrale si scrive f(z(x)). Abbiamo pertanto
f(z(x))=ln x e, siccome f è invertibile, la soluzione è
z(x)=f^{-1}(ln x), x>0.
Chi è f{-1}?
Se si disegna f, si vede che è la traslata a destra di pi della restrizione della tangente la cui inversa è arctan. Allora, per simmetria rispetto alla bisettrice, f^{-1} è la traslata in alto di pi di arctan, cioè
arctan+pi.
1. arctan(ln x) risolve la stessa equazione e la condizione z(1)=0.
"Poiché sto considerando l'inversa della tangente..."
La tangente NON è invertibile. Sono invertibili certe sue restrizioni,. Certamente lo sono le restrizioni che hanno un intervallo come dominio, perchè vengono ad essere funzioni strettamente crescenti.
La restrizione più considerata è quella all'intervallo (-pi/2,pi/2) e la sua inversa è, per definizione, arctan. La restrizione a (-3pi/2,-pi/2) ha per inversa arctan-pi. La restrizione a (pi/2,3pi/2) ha per inversa arctan+pi.
Se la condizione iniziale fosse stata z(47)=pi/4, si sarebbe osservato che z ha valori in (-pi/2,pi/2) e dunque si sarebbe considerata la restrizione a questo intervallo.
Invece pi sta in (pi/2,3pi/2).
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