Il problema delle noci di cocco
Il problema delle noci di cocco.
Cinque uomini e una scimmia naufragarono su un’isola deserta e passarono il primo giorno a raccogliere noci di cocco. Ne fecero un bel mucchio e andarono a dormire con l’intento di dividerle in parti uguali il giorno dopo. Mentre tutti dormivano, uno di loro si svegliò e decise di prendere la sua parte di noci. Le divise in cinque mucchi uguali, rimase una noce che diede alla scimmia. Nascose la sua parte è ammucchiò tutto il resto. Poco dopo un secondo uomo si svegliò e fece la stessa cosa. Anch'egli diede una noce residua alla scimmia. Uno dopo l’altro tutti e cinque gli uomini fecero la stessa cosa, diedero una noce residua alla scimmia e tennero per sé la quinta parte delle noci che c’erano. Alla mattina essi si divisero le noci rimaste in parti uguali e rimase una noce che diedero alla scimmia. Ognuno sapeva che mancavano delle noci ma non sapeva che anche gli altri erano colpevoli e così nessuno parlò. Qual era il numero iniziale di tutte noci raccolte sapendo che erano meno di 20.000?
x numero iniziale noci
x₁=4(x-1)/5 noci rimaste dopo 1 marinaio e scimmia
x₂=(4/5)((4/5)(x-1)-1)................2...................................
....
scrivo 4/5=q
x₅=q(q(q(q(q(x-1)-1)-1)-1)-1) (1.)
all′ultima sottrazione di noci.
la mattina ogni marinaio prende
altre
y=(1/5)(x₅-1)
x₅ contiene x
è un sistema di eq.ni diofantee poichè si cercano soluzioni intere
la (1.) si puo manipolare in una somma di termini in progressione geometrica:
y=q⁵x/5 -q⁵/5-q⁴/5-q³/5-q²/5-q/5-1/5
y=q⁵x/5-(∑ⱼ₌₀⁵qʲ)/5
y=q⁵x/5-((1-q⁶)/(1-q))/5
essendo q=4/5
semplificando:
5⁶(y+1)=4⁵(x+4)
essendi 4, 5 coprimi deve essere
x+4=5⁶k, k∈ℕ
x=5⁶k-4
il valore piu piccolo positivo si ha per
k=1
x=5⁶-4=15621
con per la precisione
y=4⁵-1=1023
potremmo anche:
Visto che ogni marinaio, dopo aver preso la sua quota e dato una noce alla scimmia, riammucchia tutto, il mucchio che lascia dev'essere divisibile per 4. Ne consegue che, ad ogni iterazione (tranne la finale), rimane un mucchio di noci divisibile per 4 e che, tolto 1, dia un numero divisibile per 5.
Si può partire dall'inizio o dalla fine.
Partendo dall'inizio, abbiamo N noci di cocco. Il primo marinaio ne lascia a = (N-1)*4/5.
Il secondo marinaio ne lascia b = (a-1)*4/5 = [(N-1)*4/5-1]*4/5.
E così via per 5 volte.
Facendo un po' di calcoli, arrivo all'equazione diofantea lineare
1024N - 15625M - 11529 = 0
Dove N è il numero iniziale di noci e M è il numero di noci spettante a ogni uomo alla mattina.
Visto che 1024 è il minor coefficiente numerico, scrivo gli altri in funzione di 1024:
1024N - (15*1024+265)M - (11*1024+265) = 0
Divido tutto per 1024 e porto tutto tranne N a destra:
N = 15M+11+(M+1)*265/1024 = 0.
Visto che 265 e 1024 non hanno divisori in comune, perché N sia intero, M+1 dev'essere divisibile per 1024. Ponendolo proprio uguale a 1024 ho M = 1023, da cui
N = 1023*15+11+265 = 𝟏𝟓𝟔𝟐𝟏 noci.
Facendo la prova, tutto torna e alla mattinata ogni uomo si ritrova con 1023 noci dall'ultima spartizione.
Per valori di M maggiori di 1023 che garantiscano che M+1 sia divisibile per 1024, N diviene superiore a 20.000 quindi non sono accettabili come soluzioni da enunciato.
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