Senza utilizzare alcuno strumento di calcolo (cartaceo e/o elettronico), dimostrare che risulta 5/9 < Log6/Log17 < 13/20
Senza utilizzare alcuno strumento di calcolo (cartaceo e/o elettronico), dimostrare che risulta
5/9 < Log6/Log17 < 13/20
Log è il logaritmo in base 10
Dimostrare che
5/9<log₁₀(6)/log₁₀(17)<13/20
osserviamo che
log₁₀(6)/log₁₀(17)=ln(6)/ln(17)
a)maggiorare 5/9
ln(6)=ln(2)+ln(3)
ln(16)<ln(17)<ln(18)
con gli sviluppi du Taylor abbiamo
ln(6)/ln(17)>
(ln(2)+ln(3))/ln(18)=
(ln(2)+ln(3))/(2ln(3+ln(2)))=
1-1/(2+ln(2)/ln(3))>
1-1/(2+ln(2))>
1-1/(2+5/8)=
1-1/(21/8)=
13/21>5/9
perche portandole a denominatore comune ad esempio:
13/21=39/63
5/9=35/63
e 39/63>35/63
infatti:
essendo
ln(3)=-ln(1/3)=
-ln(1-2/3)
(per Taylor
ln(1-x)=-∑ₙ₌₁xⁿ/n )
|x|<1
ln(3)>2/3+4/18
ln(3)>16/18
per dirla tutta
e<3
quindi
ln(3)>1 seppur di poco
e essendo
ln(2)=-ln(1/2)=
=-ln(1-1/2)>
1/2+1/8=5/8
consegue quanto sopra.
b)minorazione
ln(6)/ln(17)<ln(6)/ln(16)=(ln(2)+ln(3))/ln(2⁴)=
(1/4)(1+ln(3)/ln(2))
<(1+1/ln(2))/4
ora arrestando lo sviluppo di Taylor al 3 termine per ln(2)
ln(2)>1/2+1/8+1/24
ln(2)>16/24=2/3
per cui
ln(6)/ln(17)<
(1+1/(2/3))/4=
=5/8<13/20
in quanto ridotte a denominatore comune ad esempio
mcm(8,20)=40
5/8=25/40
13/20=26/40
26/40>25/40
About Post Author
