La derivata di lnσ^2 rispetto a σ^2 vale 1/σ^2, e si ha il primo termine. Per il secondo termine applichi la derivata del quoziente: il numeratore derivato rispetto a σ^2 vale 0, quindi avrai -numeratore*derivata del denominatore rispetto a σ^2 (ovvero 2) diviso il denominatore alla seconda, quindi ottieni -2*numeratore/(4σ^4) cioè -numeratore/(2 σ^4), da qui il risultato

se derivassi rispetto a sigma, invece tu derivi rispetto a sigma^2. In pratica prova a sostituire x a sigma^2 e deriva rispetto a x, quindi il denominatore è come se fosse 2x, la cui derivata è 2. Allo stesso modo per ln(sigma^2), in questo caso considero sigma^2 come x per cui la derivata di lnx è 1/x quindi 1/signa^2. Se invece avessi derivato rispetto a sigma avresti avuto 1/sigma^2 * 2sigma, che è diverso. Insomma il mio consiglio è sostituisci sigma^2 con x e deriva rispetto a x, poi risostituisci al posto di x sigma^2.