A e B sono i punti corrispondenti ad Alphaville e Betagrad
Il racconto delle tre città
ho tracciato le circonferenze con centri in A e B e raggio d=AB. Gammaville si trova su un punto della circonferenza di centro B e sarà distante da Alphaville come o meno di Betagrad se si trova sull’arco PAQ.
La probabilità sarà dunque data dalla lunghezza dell’arco PAQ diviso la lunghezza della circonferenza di centro B, ed essendo gli archi proporzionali agli angoli al centro sarà
La probabilità sarà dunque data dalla lunghezza dell’arco PAQ diviso la lunghezza della circonferenza di centro B, ed essendo gli archi proporzionali agli angoli al centro sarà
p=2γ/2π=γ/π.
Se d è molto piccola rispetto al raggio terrestre siamo nell’ambito della geometria euclidea e i triangoli equilateri PAB e QAB avranno gli angoli interni di π/3 e quindi p=1/3.
Per trovare γ nel caso generale, facciamo uso di una formula di trigonometria sferica. Dato un triangolo di angoli interni α, β, γ e lati a, b, c (i lati vengono misurati attraverso l’angolo al centro che insiste su di essi, pertanto a, b, c sono le distanze diviso R, raggio della sfera) si ha:
Per trovare γ nel caso generale, facciamo uso di una formula di trigonometria sferica. Dato un triangolo di angoli interni α, β, γ e lati a, b, c (i lati vengono misurati attraverso l’angolo al centro che insiste su di essi, pertanto a, b, c sono le distanze diviso R, raggio della sfera) si ha:
cos c=cos a∙cos b+sin a∙sin b∙cos γ
che per piccoli valori di a, b e c diventa il teorema del coseno c²=a²+b²-2∙a∙b∙cos γ
come dimostrabile?
Nel nostro caso a, b e c sono tutti uguali a d/R=x. Isolando cos γ otteniamo
cos γ=(cos x-cos² x)/sin² x=cos x(1-cos x)/[(1-cos x)(1+cos x)]=
=cos x/(1+cos x). Quindi
=cos x/(1+cos x). Quindi
γ=arccos[cos x/(1+cos x)] e p=γ/π.
Questo finché x è minore o uguale a 2π/3, in quanto per x=2π/3 l’argomento dell’arcocoseno diventa 1 e si ha quindi p=1, mentre per x>2π/3 l’argomento dell’arcocoseno diventa maggiore di 1 e l’arcocoseno non è più calcolabile in ℝ. Per x≥2π/3 infatti la circonferenza di centro B è inclusa nel cerchio di raggio A (se provate ad immaginare, con un po’ di sforzo riuscite a vederlo, nel caso in cui x=2π/3 le due circonferenze sono tangenti). In ogni caso pensate che se vado avanti di 2πR/3 e poi ancora di 2πR/3 mi ritrovo dietro alla posizione di partenza di 2πR/3.
Quindi se x≥2π/3 si ha p=1.
Se la terra avesse una superficie iperbolica invece, utilizzeremmo una formula analoga:
cosh c=cosh a∙cosh b-sinh a∙sinh b∙cos γ (si può ottenere dalla formula sferica sostituendo ad a, b e c rispettivamente i∙a, i∙b e i∙c), ed alla fine troveremmo
γ=arccos[cosh x/(1+cosh x)]
Su una terra a superficie iperbolica per x→∞ si ha che p→0.
In un mondo sferico è facile incontrarsi / anche in una grande città mentre in un mondo iperbolico è più facile sfuggirsi / per non ferirsi di più.
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