a parte le varie tecniche di risoluzione che si trovano sui libri di scuola come abbassare di grado l'equazione, ricondurla a binomia, biquadratica, trinomia, reciproca, ecc..., so che è possibile utilizzare anche le formule per le equazioni di terzo e quarto grado che a scuola non si studiano, così come in teoria è possibile creare e risolvere equazioni di qualsiasi grado annidando polinomi dentro altri polinomi, utilizzando le tecniche appena elencate e se necessario, anche le sostituzioni di variabili, le cosiddette "posizioni". Laddove tutto ciò non dovesse bastare, so che esistono varie tecniche provenienti dall'analisi numerica, come il metodo delle tangenti, di Laguerre, della secante, ecc.. utilizzando le quali è possibile trovare soluzioni reali di un'equazione. So anche che grazie ai lavori di Galois possiamo determinare tutte le equazioni risolubili per radicali ma mi è rimasto un dubbio: se un'equazione non dovesse essere risolubile con nessuno dei precedenti metodi e dovesse avere solo soluzioni complesse come si potrebbe procedere? E' sempre possibile trovare tutte le soluzioni di un'equazione polinomiale nell'insieme C? Oppure ci sono casi in cui ci si può soltanto accontentare di quanto dicono il Teorema fondamentale dell'Algebra ed un suo corollario, e cioè che nell'insieme C un polinomio di grado n ammette n radici, senza possibilità di trovarle?
affrontando lo studio delle equazioni algebriche o polinomiali, quelle di grado superiore al secondo
Il teorema fondamentale ti dice quante sono in C le radici di un'equazione polinomiale di grado n. Trovare le trovi sempre, il punto chiave è in che modo.
Il teorema di Ruffini-Abel ti assicura che non esiste una formula risolutiva generale per le equazioni di grado superiore al quinto.
Inoltre, può capitare di incontrare polinomi di grado maggiore di 2 e quindi non irriducibili su IR che non abbiano radici reali o presentino problemi di fattorizzazione, ad esempio x^5+1, fattibile quando si conoscano i numeri complessi e le loro proprietà. In altri casi, almeno in linea teorica, si può procedere con risultati dei sistemi lineari, applicando il principio di uguaglianza polinomiale, ecc. In altri casi, per la ricerca delle radici, conviene affidarsi direttamente a tecniche di approssimazione numerica delle medesime.