si può usare direttamente il criterio del confronto asintotico, dato che la serie è a termini positivi (perché q > 0 l'argomento del logaritmo è > 1).
Per ogni q si ha che arctan(n) ~ 𝜋/2 per n → +∞.
Se 2q > 1, (2q)ⁿ → +∞, per cui ln[1+(2q)ⁿ] ~ ln[(2q)ⁿ] = n·ln(2q), quindi il termine generale della serie è asintotico a (𝜋/2)/[n³ᐟ²·n·ln(2q)] = (𝜋/2)/[n⁵ᐟ²·ln(2q)], che è il termine generale di una serie convergente (è proporzionale a 1/n⁵ᐟ²).
Se 2q = 1, ln[1+(2q)ⁿ] = ln(2), e il termine generale della serie è asintotico a (𝜋/2)/[n³ᐟ²·ln(2)], e anche in questo caso la serie converge (è proporzionale a 1/n³ᐟ²).
Per finire, se 0 < 2q < 1, allora ln[1+(2q)ⁿ] ~ (2q)ⁿ per n → +∞. Quindi il termine generale della serie è asintotico a (𝜋/2)/[n³ᐟ²·(2q)ⁿ] = (𝜋/2)/n³ᐟ²·[1/(2q)]ⁿ → +∞ per n → +∞, perché [1/(2q)]ⁿ è un infinito di ordine superiore rispetto a n³ᐟ².
Direi più semplicemente di arrivare fino alla fine della 2a riga, quando hai a~ etc; ora al Num hai una cost; al Den devi avere almeno un infinito di ordine misurabilmente >1.
Siccome hai già 3/2, che va bene, ma se la deve vedere con l'esponenziale, che dominerà nel bene o nel male (salvo il caso limite di base=1), tutto sta ad imporre che tale base sia >1, oppure =1 (nel qual caso la convergenza avverrà solo grazie all' n^(3/2). 2q>=1 => q>=1/2 per convergere.
Per q<1/2 l'esp diventa un inf.mo quindi a[n] addirittura -> inf.