potremmo anche:
Limite notevole
lim (1-cosx)/x^2=1/2;
quindi
applicando L’Hopital, si ha
lim (1-cosx)/3x^2= lim (1/3) * ((1-cosx)/x^2)=1/6
Questa dimostrazione, riportata anche, non è corretta in quanto presuppone 1) che il limite esista 2) che esso sia finito. Dovresti prima provare i punti 1) e 2).
Da osservare bene!!!
Dipende naturalmente dalla definizione del seno. Quella che impariamo nelle scuole medie superiori col cerchio trigonometrico, ecc, non è la più facilmente assiomatizzabile o formalizzabile, e, a detta di alcuni matematici, neanché la più naturale. Se va a leggere i manuali di Analisi Reale di livello universitario, Rudin, Stromberg, Lang, Tao, ecc, vedrà che si predilige la definizione per serie di potenze.
Comunque, ecco una dimostrazione che poggia sui seguenti fatti:
1. sin x < x per ogni x>0, sin(-x) = - sin x (vale a dire, la funzione x-->sin x è dispari), sin0 = 0, cos0 = 1.
2. Dsinx = cos x, D cos x = - sin x.
3. Il teorema su monotonia e segno di derivata: Se f:I-->R e derivabile nel intervallo I, con derivata f'>0, allora f è strettamente crescente.
(Nota. La 3. se vogliamo è corollario immediato del teorema del valor medio di Lagrange: Se f:[a,b]-->R e' continua e derivabile in ]a,b[, allora esiste c in ]a,b[ tale che
f(b) - f(a) = f'(c)(b-a). )
Lemma. Per ogni x>0,
x - x^3/3! < sin x < x - x^3/3! + x^5/5!
Dimostrazione. Prendiamo f(x) = (x - x^3/3! + x^5/5!) - sinx.
Facciamo un po' di derivate:
f'(x) = 1-x^2/2!+x^4/4! -cos x,
f''(x) = -x +x^3/3! + sin x,
f'''(x) = -1 + x^2/2! + cos x,
f^(iv)(x) = x - sin x.
Osserviamo che f(0)=f'(0)=f''(0)=f'''(0) e che f^(iv)(x)>0 per x>0.
Per ogni x>0 segue, applicado ripetutamente il Fatto 3., che f'''(x) > f'''(0)=0, il che implica (sempre per il 3.) f''(x) > f''(0) = 0, il che implica ancora che f'(x) > f'(0) = 0 il che implica ancora che f(x) > f(0) = 0.
Abbiamo dimostrato quella a destra delle diseguaglianze di sopra.
Similmente si dimostra anche l'altra.
Dimostrazione del limite. Dal lemma di sopra segue che per ogni x reale diverso da 0,
1/3! - x^2/5! < (x - sin x)/x^3 < 1/3! .
Per x>0 dovrebbe essere chiaro. Per x<0 segue anche dal fatto che le tre funzioni sopra sono pari, non cambiano cioè di segno quando x viene rimpiazzato da -x.
La conclusione voluta segue dalle suddette diseguaglianze appicando la definizione di limite (o il teorema dei carabinieri se preferiamo).
Nota (un po di carattere personale). Dunque dimostrazione senza L'Hospital o sviluppi di Taylor che non vengono di solito coperti nel programma delle medie superiori in Albania. Sarei curioso di sapere com'è la situazione in Italia, specialmente nei licei scientifici