avendo la radice di (x+3x+5x+7x+9x+...+x*x = a un numero. Come determino la x
x=121
_________
a₁=(2•1-1)=1
a₂=(2•2-1)=3
a₃=(2•3-1)=5
a₄=(2•4-1)=7
a₅=(2•5-1)=9
……………..
a(n)=(2n-1)
quindi:
x=a(n)=2n-1
√(x+3x+5x+7x+9x+……x•x)=671;
√[x(1+3+5+7+9+…a(n))]=671;
√{x•[∑(1,n)(2n-1)]}=671;
√[(2n-1)•n²]=671;
(2n-1)•n²=671²;
2n³-n²-671²=0;
2n³-n²-450241=0;
con l’unica soluzione reale:
n=61
da cui:
x=2n-1=121
Facciamo un ragionamento che ci porta alla soluzione in maniera forse più intuitiva e senza utilizzo di strumenti elettronici.
a₁=1²-0²=1
a₂=2²-1²=3
a₃=3²-2²=5
a₄=4²-3²=7
a₅=5²-4²=9
……………..
a(n)=n²-(n-1)²=x
La somma degli n termini, come si vede anche dallo schema sopra rappresentato, è uguale al minuendo del termine ennesimo meno il sottraendo del primo termine, ovvero:
n²-0²=n²
Avendo espresso ciascun termine come differenza di due quadrati, si può scrivere:
a²-b²=(a+b)(a-b)
e, pertanto:
x=a(n)=n²-(n-1)²=(n+n-1)[n-(n-1)]=2n-1;
Tornando all’equazione iniziale, si ha:
√(x+3x+5x+7x+9x+……x•x)=671;
√[x(1+3+5+7+9+…a(n))]=671;
√(x•n²)=671;
Utilizzando i criteri di divisibilità e la scomposizione in fattori è 671=11•61, per cui avremo:
√[(2n-1)•n²]=11•61;
(2n-1)•n²=(11•61)²=11²•61²;
Da qui si deduce che i due fattori al primo membro devono risultare uguali a quelli del secondo membro dell’equazione, da cui n² uguale a 11² o a 61² ovvero n uguale a 11 o a 61.
Per n=11 dovrebbe risultare:
2n-1=61²;
2•11-1=61²
ma è:
21≠61²
Per n=61 deve invece risultare:
2n-1=11²
2•61-1=11²
121=121
Si può pertanto affermare che:
n=61
e:
x=2n-1=121
Partendo dalla somma di una serie aritmetica di ragione 1 si determina la somma dei numeri dispari di cui l'ennesimo sia x che è data da [(x+1)/2]^2; sostituendo si ottiene l'equazione x^3+2x^2+x-1800964=0 che ammette la sola soluzione reale x=121
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