avendo la seguente figura geometrica
AOB isoscele
BOC isoscele
COD isoscele
AO OB OC OD raggio
d=65. Per questo valore abbiamo 2*arcsin(33/d)+2*arcsin(7.2/d)+2*arcsin(52/d) = pi_greco.
usando la formula per la somma degli arcoseni (che è probabilmente una riscrittura di quell'identità passando per i logaritmi), ma neanche da quella strada si procede facilmente...
arcsin(𝛼) + arcsin(𝛽) = arcsin[𝛼√(1-𝛽²) + 𝛽√(1-𝛼²)].
La soluzione geometrica sembra la più semplice, ma mi aveva colpito la semplicità dell'equazione con gli arcsin
Chiamando a, b e c i tre lati, poiché gli angoli α=BAC e δ=BDC sono supplementari si ha
a = d cos α, (ABD è retto)
ΒD² = d² - a² (sempre perché ABD è retto)
BD² = b² + c² - 2bc cos δ =
= b² + c² + 2bc cos α
Uguagliando le due espressioni e facendo la sostituzione cos α = a/d si ottiene alla fine
d³ -(a²+b²+c²)d-2abc = 0, equazione simmetrica nei tre lati a, b e c come ci si aspetta.
È un’equazione di terzo grado con una sola soluzione reale, ma l’espressione della soluzione non è semplice.
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