avendo un quadrato con al suo interno un triangolo rettangolo ABC
se dividessimo l'aria del triangolo ABC con l'area del quadrato?
-triangolo rettangolo CAB (2° teorema di Euclide):
BH:AH=AH:HC
AH²=BH•HC (1)
Posto:
AH=h=y;
BH=x;
è:
HC=L-x;
AH’=L-y;
risulta:
L-y=(L/2-x)•tan 60°=√3(L/2-x);
(1-√3/2)L-y=-√3•x;
x=(1/2-√3/3)L+y√3/3;
la (1) diventa:
y²=[(1/2-√3/3)L+(√3/3)y][(1/2+√3/3)L-(√3/3)y];
y²=(1/4-3/9)L²-(√3/3)(1/2-√3/3)Ly+ (√3/3)(1/2+√3/3)Ly-(3/9)y²;
y²=(-1/12)L²-(√3/6-1/3-√3/6–1/3)Ly-(1/3)y²;
(4/3)y²-(2/3)Ly+(1/12)L²=0;
16y²-8Ly+L²=0;
(4y-L)²=0;
da cui:
y=L/4 (=h)
A(ABC)=BC•h/2=(1/2)L•L/4=L²/8;
A(quadrato)=L²;
A(ABC)/A(quadrato)=1/8
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