Basandosi sulle proprietà di 𝜋, dimostrare che 𝜋² è irrazionale
si può dimostrare che 𝜋ᵃ è irrazionale per ogni a razionale, a ≠ 0.
se 𝜋² fosse razionale allora Q( 𝜋) sarebbe un'estensione di grado 2 di Q. Ma 𝜋 è trascendente, quindi il grado di tale estensione è infinito.
Lo stesso argomento dimostra che 𝜋ᵃ è irrazionale per ogni a razionale non nullo.
se pi^2 fosse razionale allora x^2-pi^2=0 sarebbe riconducibile ad una equazione a coefficienti interi le cui soluzioni quindi dovrebbero essere algebriche. Tuttavia questa equazione avrebbe pi tra le sue soluzioni, ma pi non può essere soluzione di un'equazione a coefficienti interi altrimenti pi sarebbe algebrico e pi invece è trascendente (cioè irrazionale non algebrico).
Basterebbe traslare la semplice dimostrazione di radice di 2 con i sup e gli inf
Il campo algebrico è algebricamente chiuso, ciò significa in particolare che se x e’ algebrico allora tale è x^n. Supponiamo ora che π^2 fosse più che razionale, algebrico, allora esistono coefficienti interi, o più in generale algebrici, a e b, per cui il polinomio a x^4 +b si annullerebbe in π^2. Allora posto Y=x^2, avremmo che aY^2+b ammette lo zero π, che dunque sarebbe algebrico, mentre è nota la sua trascendenza. Dunque π^2 non può essere algebrico e perciò è necessariamente irrazionale. Tutto ciò può essere detto molto più formalmente ed elegantemente usando la nozione di estensione finita/ non finita, algebrica o non algebrica del campo razionale e grado della medesima, ma forse non tutti hanno a disposizione questo concetto, per cui, con più fatica, si può far ricorso alla definizione di algebricita’ e ad alcune proprietà elementari di π ( trascendenza su Q) e del campo algebrico medesimo ( algebricamente chiuso).
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