Calcolare il limite della successione di termine generale a(n) = ln(1-1/2²) + ln(1 - 1/3²) +... + ln(1 - 1/n²)
log(1-1/k²)=log(k-1)+log(k+1)-2log(k).
Allora la successione delle somme parziali con indice iniziale 2 è
log((n-1)!)+log((n+1)!)-2log(n!)-log(2)
=log((n+1)/(n))-log(2)
Il limite dunque è -log(2)
Ricordando la rappresentazione di Weierstrass come prodotto infinito del sin(πx):
sin(πx) = πx Prod_{n=1} (1-x^2/n^2)
possiamo facilmente dire che a(∞) puo' essere identificato con
a(∞)=Lim_{x->1} Ln{sin( πx) /[ πx(1-x^2)]}
applicando l'Hospital si ha :
Lim_{x->1} Ln{π cos( π x) /[ π(1-x^2)-2 π x^2 ]}=
=Ln{1/2}
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