Calcolare la somma dei reciproci di tutti i divisori di 529200
529200 si decompone in 2^4.3^3.5^2.7^2 Le frazioni da sommare sono del tipo (1/2)^x.(1/3)^y.(1/5)^z.1/7)^k. Riordinando i termini di questa somma si ottiene: (1+1/2+1/4+1/8+1/16)(1+1/3+1/9+1/27)(1+1/5+1/25)(1+1/7+1/49)=18259/4410
Provo così: n = 529200 = 2⁴×3³×5²×7².
Passo 1: la somma di tutti i divisori di n è data da:
S = (1+2+4+8+16) × (1+3+9+27) × (1+5+25) × (1+7+49) = 2191080.
Passo 2: la somma dei reciproci dei divisori è data da: S / n = 2191080 / 529200 = 18259/4410 ≈ 4,140.
per il primo passo c'è una dimostrazione, mentre per il secondo
Supponiamo che n abbia 𝜑 divisori d₁, d₂, ..., dᵩ, ordinati dal più piccolo al più grande (quindi in particolare d₁ = 1, dᵩ = n). Sia S = d₁ + d₂ + ··· + dᵩ la loro somma. Notiamo che:
d₁×dᵩ = n;
d₂×dᵩ₋₁ = n;
d₃×dᵩ₋₂ = n;
...
Se 𝜑 è pari, ci sono 𝜑/2 relazioni come questa. Se 𝜑 è dispari, sono (𝜑+1)/2, e l'ultima relazione è dⱼ×dⱼ = n, con j = (𝜑+1)/2.
Quindi:
1/d₁ + 1/d₂ + ··· + 1/dᵩ₋₁ + 1/dᵩ =
= (1/n) × (n/d₁ + n/d₂ + ··· + n/dᵩ₋₁ + n/dᵩ) =
= (1/n) × (dᵩ + dᵩ₋₁ + ··· + d₂ + d₁) =
= (1/n) × S = S/n.
dato un numero x ≠ 0, il suo reciproco (detto anche inverso) è 1/x. Per esempio il reciproco di 4 è 1/4 (0,25), il reciproco di 0,5 è 2, il reciproco di 1 è 1, eccetera.
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