Sum(n,0,infinity, x^n)=1/(1-x), per Modulo di x minore di uno. Differenziando entrambi i membri si arriva alla equazione: sum nx^(n-1)=1/(1-x)^2. Si pone x =1/2 e si arriva allo stesso risultato
A= 1+1/2 *A; divido entrambi i membri per A, da cui: 1=1/A +1/2; 1/A = 1-1/2; 1/A= 1/2; A=2
S(1/2)=∑ₙ₌₁ᵒᵒn/2ⁿ=2
Si risolve facilmente a partire dalla serie sommabile geometrica
S₀(x)=∑ₙ₌₀ᵒᵒxⁿ=1/(1-x), |x|<1 (1)
per x=1/2
S₀(1/2)=2
derivando la (1) m.a.m e il 2ndo m. t.a.t. :
∑ₙ₌₁ᵒᵒnxⁿ⁻¹=1/(1-x)²
moltiplico per x≠0 m.a.m e ho
S(x)=∑ₙ₌₁ᵒᵒnxⁿ=x/(1-x)²
per cui
S(1/2)=∑ₙ₌₁ᵒᵒn/2ⁿ=(1/2)/(1-1/2)²=2