Calcolare l'integrale definito, da - pi/4 a pi/4, della funzione f(x) = 1/{cos²x[1 + 3^(tx)]} con t parametro reale
Usando la linearità dell'integrale e notando che $1/(1+3^s) ds in un intervallo (-a,0) coincide con l'area di 1/(1+3^-s) in (0,a)
′′Se f(x) ∈C[-a,a] dispari, b∈ℝ⁺
g(x) ∈C[-a,a] dispari
allora
∫(f′(x)/(b^(g(x))+1))dx{-a,a}=f(a) ′′
che può essere facilmente dimostrato
Quindi
I=∫{1/(cos²(x)·(1+3ᵗˣ))}dx{-π/4, π/4}=
tan(π/4)=1
inoltre, potremmo:
I=1
I=∫{1/(cos²(x)·(1+3ᵗˣ))}dx{-π/4, π/4}=
∫{1/(cos²(x)·(1+3ᵗˣ))}dx{-π/4,0}+
∫{1/(cos²(x)·(1+3ᵗˣ))}dx{0,π/4}=
nel primo integrale pongo x=-u
∫{1/(cos²(u)·(1+3⁻ᵗᵘ))}du{0,π/4}+
∫{1/(cos²(x)·(1+3ᵗˣ))}dx{0,π/4}=
richiamo u→x
∫{1/(cos²(x)·(1+3⁻ᵗˣ))}dx{0,π/4}+
∫{1/(cos²(x)·(1+3ᵗˣ))}dx{0,π/4}=
∫{1/(cos²(u)·(1+3⁻ᵗᵘ))}du{0,π/4}+
∫{[1/(cos²(x)]·[1/(1+3⁻ᵗˣ)+1/(1+3ᵗˣ)]}dx{0,π/4}=
il secondo fattore dell′integranda è pari a 1
rimane
I=∫{1/(cos²(x)}dx{0,π/4}
I=∫d(tan(x)){0,π/4}
I=[tan(x)]{0,π/4}=tan(π/4)-tan(0)=1
I=1
Per mettere in evidenza che l′integrale si può ridurre a metà del dominio e in tal caso l′integranda non dipende da t. Il calcolo è semplificato e si ha una primitiva elementare F(x)=tan(x)+c
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