Calcolo delle probabilità: ho 5 sacchi, ognuno dei quali ha al suo interno 2 palline rosse e 1 nera
Ciao a tutti, c'è questo esercizio di probabilità che non riesco a risolvere:
Ho 5 sacchi, ognuno dei quali ha al suo interno 2 palline rosse e 1 nera. Da ogni sacco estraggo 1 pallina e la poggio sul tavolo.
Qual è la probabilità di avere 5 palline nere?
Qual è la probabilita di avere 4 palline nere e 1 rossa?
Qual è la probabilita di avere 3 palline nere e 2 rosse?
Qual è la probabilita di avere 2 palline nere e 3 rosse?
Qual è la probabilita di avere 1 palline nere e 4 rosse?
Qual è la probabilita di avere 5 palline rosse?
Qual è la probabilità di estrarre una pallina nera da un singolo sacco? 1/3
Hai 1/3 di probabilità di estrarre una pallina nera da UN sacchetto. Da CINQUE sacchetti la probabilità totale diminuisce, poiché si devono verificare CONTEMPORANEAMENTE cinque eventi non correlati tra loro.
Quindi (1/3)⁵
Se dovessi calcolare la probabilità di avere 3 nere e 2 rosse, dovrei fare (1/3)^3*(2/3)^2?
La loro somma deve fare necessariamente 1.
L'evento può avere soltanto 6 possibili risultati:
R1 = 5 palline nere
R2 = 4 palline nere e 1 rossa
R3 = 3 palline nere e 2 rosse
R4 = 2 palline nere e 3 rosse
R5 = 1 pallina nera e 4 rosse
R6 = 5 palline rosse
Uno degli assiomi della teoria della probabilità afferma che P(Ω) = 1
Un altro degli assiomi afferma che se l'intersezione tra due eventi A e B è vuota, allora P(A∪B)=P(A)+P(B).
Da questi due assiomi si deduce la proprietà
P(Ω) = P(R1) + P(_R1_),
dove _R1_ idica l'evento complementare a R1
Abbiamo che _R1_ = R2∨R3∨R4∨R5∨R6
Essendo che i vari eventi sono incompatibili tra loro si ha che tutte le loro intersezioni sono nulle, quindi si ha che :
P(_R1_) = P(R2) + P(R3) + P(R4) + P(R5)+ P(R6)
Quindi la loro somma deve fare 1:
1 = P(Ω) = P(R1) + P(_R1_) = P(R1) + P(R2) + P(R3) + P(R4) + P(R5) + P(R6)
se consideriamo il caso di 4 nere e una rossa (per comodità numero queste ultime per far capire che sono due palline diverse) Ottengo questi possibili eventi
N N N N R1
N N N N R2
N N N R1 N
N N N R2 N
N N R1 N N
N N R2 N N
N R1 N N N
N R2 N N N
R1 N N N N
R2 N N N N
Che sono 10 su un totale di 243,
10 > 2
Se provassi ad immaginare di avere solo due sacchetti invece di cinque.
Hai quindi 1/9 di probabilità di avere contemporaneamente due palline nere in due estrazioni consecutive.
N N
N R1
N R2
R1 N
R2 N
R1 R2
R1 R1
R2 R1
R2 R2
La probabilità di avere una rossa e una nera è 4/9, ovvero 2/9+2/9.
4/9 è anche la prob. di avere due palline rosse (2/3)².
Tornando ai 5 sacchetti, la probabilità di avere ad esempio 4 nere e 1 rossa diventa:
((1/3)^4)*(2/3)*5
10/243