a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ + ···.

Quindi si possono costruire infinite combinazioni lineari di x₁, x₂, x₃ scegliendo i coefficienti a, b, c a piacere. Immagino però che tu voglia trovare una combinazione lineare dei tre vettori x₁, x₂, x₃ che fa 0, cioè una combinazione lineare nulla.

Dato che, giustamente, i tre vettori non sono linearmente indipendenti, deve esistere una combinazione lineare nulla i cui coefficienti non sono tutti nulli (si dice combinazione lineare nulla "non banale").

Dato che x₃ = 0 (e in generale, se uno dei vettori è nullo), esiste un modo "ovvio" di trovare una combinazione lineare non banale nulla: basta prendere a = b = 0 ma c = 1:

0·x₁ + 0·x₂ + 1·x₃ = 0 + 0 + 0 = 0

(ovviamente si può scegliere c = qualsiasi numero reale non nullo, diciamo che dell'elemento 1 è garantita l'esistenza in ogni campo).

Dato che non si ha simultaneamente a = b = c = 0 (almeno uno dei tre coefficienti è non nullo), la combinazione lineare è nulla e non banale.

Si vede che questo procedimento si può estendere facilmente ad un qualsiasi numero di vettori, se uno di loro è nullo.