Mostro il - per - che fa più gli altri casi sono analoghi
Fissiamo un intero positivo (WLog) a≠0
-(-a)-(-a)-(-a)-.....-(-a)=(-a)*(-b)=a+a+a+...+a>0 (b volte)
regola: raccoglimento a fattor comune
+1 è un operatore che restituisce l'informazione originale ( o una rotazione di 0°+2kpi sulla retta dei reali), -1 un operatore che restituisce l'opposto dell'informazione (o una rotazione di 180°+2kpi rispetto all'asse reale).
In questo senso (+1)x(+1) è una rotazione di 0°+0°=0° per cui equivale a (+1), (+1)x(-1) e viceversa è una rotazione di 0°+180°=180° ossia equivale a (-1), infine (-1)x(-1) è una rotazione di 180°+180°=360°=2pi=0° che equivale a (+1).
Se moltiplico due numeri devo pensare non a un'operazione singola ma a tre:
a x b = sgn(a) [a ] x sgn(b) [ b ]
poi affermo che l'operazione di applicazione del segno e la moltiplicazione commutano, per cui non importa chi faccio per primo, di conseguenza l'operazione diventa:
sgn (a) sgn (b) |a| x |b|
il prodotto dei moduli ricade nella comune definizione di prodotto aritmetico, di somma iterata (sommo il valore di a b volte o viceversa), dopo di che applico gli operatori segno, con la definizione iniziale, per cui ad esempio l'opposto dell'opposto restituisce il valore iniziale.