Il criterio da usare è il seguente (importante, molto importante):

se

f,g:[1,+oo)-->R sono continue e positive e il limite per x-->+oo del loro rapporto esiste ed è finito e non nullo, allora gli integrali di f e di g o convergono entrambi o divergono entrambi.

Qui, come osservato da Guido Fretti, abbiamo f(x)=ln(1+(1/x^2)). Allora si può prendere g(x)=1/x^2.

Dunque l'integrale converge.

Per il valore dell'integrale, si calcola facilmente per parti (scrivere f(x) come 1×f(x) e prendere una primitiva di 1) l'integrale fra 1 e A e poi si prende il limite per A-->+oo. Se non ho sbagliato il calcolo si trova

pi/2 - ln2.