Data una funzione continua f : X → Y la cui immagine ha cardinalità finita, si dimostri che f è una funzione costante.

Per ipotesi, f è continua e X è connesso, quindi f(X)={y1,...yn}, per opportuni yi in Y, è connesso. Per ipotesi, Y è T1, quindi tutti i singoletti contenuti in Y sono insiemi chiusi e, in particolare, lo sono {yi} per i=1...n. In particolare tutti i possibili sottoinsiemi di f(X) sono chiusi in quanto sono o unioni o intersezione finite dei singoletti chiusi {yi}. Ma quindi, ogni singoletto {yi} per i=1...n è anche aperto nella topologia di sottospazio di f(X) perché complementare di opportuni sottoinsiemi chiusi di f(X). Ma quindi si arriva a dire che tutti i singoletti {yi} sono aperti e chiusi nella topologia di sottospazio di f(X) connesso, ma, per definizione di connesso, f(X) è l'unico aperto e chiuso (oltre al vuoto) nella topologia del sottospazio. Questo vincola f(X) ad essere un singoletto e, quindi, f ad essere costante.