E usiamo due #diversi infinitesimi per dimostrarlo (non siamo obbligati a sceglierne uno in particolare).
Posso scrivere:
|f(x)-L|<epsilon1
|f(x)-L|<epsilon2
Sottraggo membro a membro (sto parlando di un limite, quindi posso farlo)
|f(x)-L|-|f(x)-L|<epsilon1 -epsilon2
ossia:
0<epsilon1-epsilon2
Ma vista l'arbitrarieta' di epsilon1 e epsilon2 sto scrivendo una cosa falsa, infatti.
epsilon1=2
epsilon2=3
Quindi:
0<-1
non solo ho scritto anche che
epsilon1>epsilon2
similmente posso fare il contrario ossia invertire la sottrazione membro a membro e arrivo a:
0<epsilon2-epsilon1
Ma anche qui e' assurdo.
Ora ho:
epsilon1<epsilon2
mentre prima
epsilon1>epsilon2
il che e' doppiamente assurdo e mi dice che gli epsilon non esistono... o che se esistono sono unici, ma avevamo detto nella definizione di limite che c'era la possibilità di sceglierli arbitrariamente e questo non e' vero...
Quindi concettualmente la definizione di limite non e' ammissibile.
Da notare:
Il valore di x nei due casi non e' detto che sia uguale. Scriverei x1 e x2. Per la definizione di limite, per ogni epsilon >0, esiste un delta, tale che |x|<delta ( x0=0)... I delta nei due casi sono diversi e quindi anche il range in cui varia x
La 2 è la 3 sono vere solo se epsilon2>epsilon1