Cosa rappresenta geometricamente il rango?
se E è una matrice mxn, allora la funzione F:X€R^n--->EX€ R^m è lineare, quindi imF =F(R^n) è sottospazio vettoriale di R^m.
Geometricamente imF può essere il singoletto {O}, o una retta per l'origine, o un piano per l'origine, eccetera....
Il rango di E è proprio la dimensione di imF, ed è quindi quel numero che fa capire cosa effettivamente sia imF
se hai un insieme di vettori e vuoi vedere quanti sono linearmente indipendenti puoi usare le coordinate dei vettori come colonne di una matrice e il rango della matrice è proprio il numero di vettori linearmente indipendenti. Inoltre se fai la riduzione a scala la posizione dei pivot ti dice quali sono questi vettori indipendenti.
Quindi io direi che, geometricamente, il rango indica la dimensione del sottospazio generato da un insieme di vettori
Prendi una matrice A nxn a entrate in un campo K e supponiamo che il suo rango sia t<=n. Allora t è il massimo numero di colonne (o righe) linearmente indipendenti. Quindi se pensi le colonne come vettori nello spazio vettoriale K^n il rango ti dice che esattamente t di quei vettori non giacciono sulla stessa retta. Per fare un esempio concreto se prendi la matrice
A=[ 1 1, 1 3]
essa ha rango 2 (essendo invertibile) e di fatto i due vettori (1,1) e (1,3) non sono paralleli (pensali ad esempio applicati nell’origine)
la definizione di rango include delle proprietà molto più forti. Se il rango della tua matrice è t<n, vuol dire che esistono t vettori riga (colonna) che non solo non stanno sulla stessa retta, ma non stanno in nessun sottospazio di dimensione minore di t; inoltre, comunque scegli t+1 vettori riga (colonna), questi staranno sempre in un sottospazio di dimensione al più t
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