Da un cartone di 12 m^2 si deve ricavare una scatola senza coperchio, a forma di parallelepipedo rettangolo. Determinare il massimo volume possibile della scatola
(penso sarebbe più logico porlo così: qual è il parallelepipedo senza coperchio, con una superficie di 12mq, che contiene il maggior volume?) , la risposta dovrebbe essere un parallelepipedo a base quadrata con l'altezza pari ad 1/2 dei lati, quindi un volume di 4 m3.
Partendo dall'assunzione che il caso di base quadrata è per forza un punto di simmetria nella funzione volume (quindi o un massimo o un minimo) studiamo questo caso:
B=L
H=B x k
BxLxH = B³x k
12= B²+4B²k---> k = 3/B² -1/4
V=3B-B³/4
Questa funzione ha come derivata
3-3B²/4
Che si annulla per
-3(B²/4-1)
Quindi per B=2. Mettendo questo nella superficie, si ha
12=4+4x4xk
K = 8/16 =1/2
Da un confronto poi con un altro caso per un k diverso ci si accorge che è un massimo.
Il volume è V=abc e l'area è 12 = 2ab+2bc+ac >= 3 RadCub(4V^2) (dalla disuguaglianza AM-GM), e quindi V<=4. Il caso dell'uguaglianza è realizzabile per 2ab=2bc=ac <=> a=c=2b=2, e quindi il volume massimo è 4.