data la funzione f(x) = [sen(n*arccosx)]/(1- x²)^½ con n intero positivo.
Calcolare i limiti per x -->1 dalla sinistra e per
x --> -1 dalla destra di f(x) senza utilizzare le serie di potenze né la regola dell'Hopital.
Vale n si usa un limite notevole.
f(x)=sin(n·arcos(x))/√(1-x²)
x→1⁻
x→-1⁺
sussiste l′identità
arcos(x)=arcsin(√(1-x²))
per cui
f(x)=sin(n·arcsin(√(1-x²)))/√(1-x²)
posto
√(1-x²)=y
i due limiti equivalgono al
lim per y→0⁺
di
sin(n·arcsin(y))/y
ma se pongo
y=sin(z)
z→0
f(z)=sin(nz)/sin(z)
Moltiplico e divido per nz
f(z)=(sin(nz)/nz)·(z/sin(z))·n→1·1·n→n
il lim vale n
per x→-1⁺ il limite vale
n per n dispari
-n per n pari
About Post Author
