data la funzione f(x,y) = x^2 + 2xy + y^4 -4
dire se la linea L di equazione f(x,y) = 0 attraversa o no la sua tangente nei punti A(1, 1) e B(2,0) rappresentandola graficamente
la tangente t(P) per il punto P=(X,Y) ha equazione ∇f(P)*(x-X,y-Y)=0, quindi il punto (b) ti chiede di dire se esistono punti del piano per cui la retta t(P) è parallela ad uno degli assi, e questo accade se esistono punti in cui esattamente una sola derivata parziale è nulla.
il punto (a) invece dovrebbe chiederti se ci sono punti di L in cui la curvatura cambia segno
la funzione f è di classe C1 ed ha gradiente mai nullo, questo significa che l'equazione f(x,y)=0 può essere esplicitata nella forma y=g(x) oppure x= h(y) attorno ad ogni punto di L. L'esercizio ti chiede di scoprire se attorno ai punti dati le funzioni implicite hanno dei flessi oppure no.
Vediamo che succede attorno ad A(1,1).
∇f(x,y)=(2x+2y,2x+4y^3)
∇f(A)= (4,6), quindi attorno ad A si possono esplicitare entrambe le variabili. Scelgo di esplicitare la y rispetto la x, cioè di lavorare con l'equazione y=g(x).
derivando più volte l'espressione f(x,g(x))=0 (*) si trovano le espressioni delle derivate (successive) di g in funzione delle derivate parziali (successive) di f
(1,g'(x))*∇f(x,g(x))=0,
(∂_x)f(x,g(x)) + g'(x)(∂_y)f(x,g(x))=0,
quindi
g'(x)=-(∂_x)f(x,g(x))/(∂_y)f(x,g(x)),
sostituendo x=1 e ricordando che g(1)=1 si trova il valore di g'(1).
Derivando l'espressione (*) n volte si trova il valore di g^[n](1). [derivata ennesima di g nel punto x=1]. In base ai valori delle derivate successive di g in x=1 si capisce se x=1 è un flesso per g oppure no, cioè se la tangente ad L nel punto A attraversa la curva oppure no
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