Date le due equazioni: f(x) = x³ + ax² + bx + c = 0, g(x)=x³ + (a+k)x² + (b+k)x + c + k = 0
con a, b, c, k numeri reali,
1) esprimere b, c in funzione di a in modo che le due equazioni
f(x) = 0 e g(x) = 0 abbiano due radici comuni;
2) sostituendo b e c con i valori trovati al punto 1), determinare a sapendo che la somma dei
quadrati delle radici
dell'equazione f(x) = 0 è 15.
Per ogni x in cui g ed f si annullano entrambi i x_0 si annulla anche g-f, quindi le radici comuni sono proprio gli zeri di g-f.
Essendo a,b,c reali lo zero non comune di f sarà reale, chiamiamo z questo zero allora f(x)=(x-z)(x^2+x+1)=x^3+(1-z)x^2+(1-z)x-z.
Essendo a=1-z è z=1-a e quindi b=a e c=a-1
2) la somma dei quadrati delle radici è data da a^2-2b = a^2-2a=15 e dunque a=5 o a=-3.
In modo più diretto essendo x^2=-x-1 la somma dei quadrati degli zeri di g-f è pari all’opposto della somma delle radici con 2. Quindi vale -1 allora z^2=15+1 e cioè z=4 o z=-4 quindi a=5 o a=-3
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