Determinare gli interi positivi x, y per cui è verificata l'equazione x^x = y^(x + 2y)
x^x = y^(x + 2y)
equivale a dire
log_x (y^(x + 2y))=x
equivale a dire
[ln(y^(x+2*y))]/[ln(x)]=x
perchè x=1 ed y=1 è soluzione
di x^x = y^(x + 2y)
ed è 0/0 per [ln(y^(x+2*y))]/[ln(x)]=x
Il testo della sua equazione può anche scriversi:
(x/y)=y^(2y/x)
Trattandosi di valori interi e positivi delle due variabili, allora può suggerirsi un cambio di variabile, in realtà poco ortodosso, del tipo:
(x/y)=z
Pertanto: z = y^(2/z)
Che si riscrive: y = z^(z/2).
A questo punto si assegnano a z ricorsivamente i valori di N0 (N senza lo 0), si calcola y, infine si calcola x che per il cambio di variabile è uguale a yz.
Esempio
Assegnando z=2 ==> y=2
Per cui x=2*2=4.
Pertanto, nel caso indicato, le soluzioni sono x=4 e y=2. Le altre coppie possono essere determinante agendo ricorsivamente su y=z^(z/2): naturalmente vanno escluse dalle soluzioni tutte le coppie con almeno un valore esterno ad N0
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