Determinare i punti a coordinate intere della quartica X³ - 2Y⁴ + X = 0
x³-y⁴+x=0
ha la sola soluzione banale
(x, y) = (0, 0)
Infatti:
posto t=y²
posso scriverla come:
x(x²+1)=t²
x y devono essere entrambi pari e cosí t deve eseere pari altrimenti avrei una contraddizione.
intersechiamola con la generica retta per (0,0)
x/r=t
con r=u/v, u v interi r razionale,
si ha semplificando per x≠0
u²(x²+1)=v²x
ora x deve essere pari per cui u v devono essere pari.
Allora usando la discesa infinita
u→2u, v→2v
4u²(x²+1)=4v²x
u²(x²+1)=v²x
ritrovo l′eq.ne iniziale.
tale processo dovrebbe continuare all′infinito e cio′ è impossibile perchè si incontrerebbero u v coprimi prima o poi (potremmo assumerli coprimi in partenza e la dimostrazione sarebbe inmediata).
x³-2y⁴+x=0
ha tre soluzioni
(x, y) = (0, 0)
(x, y) = (1,±1)
Infatti:
posto t=±y²
posso scriverla come:
x(x²+1)=2t²
intersechiamola con la generica retta per (0,0)
x/r=t
con r=u/v, u v interi r razionale,
si ha semplificando per x≠0
u²(x²+1)=2v²x
u²x²-2v²x+u²=0
x=(v²±√(v⁴-u⁴))/u²
v²/u²=k²=1/r²
v/u=±k
Δ=v⁴(1-k⁴)=v⁴(1+k²)(1-k²)=R²
uniche possibilità
k=0
v=0, x=0, t=0, y=0
k²=1, k=±1, x=1, t=±1, y=±1
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