Determinare il numero di soluzioni reali dell’equazione
Teorema.
Siano f,g:(0,3)-->R verificanti
f è strettamente concava
g è strettamente convessa
f(1)>g(1)
e i limiti destri e sinistri verificano
f(0+)<g(0+)
f(3-)<g(3-).
Allora l'equazione f(x)=g(x) ha esattamente due soluzioni.
Dimostrazione rigorosa non completamente immediata ma fattibile. Graficamente è immediato.
Applicando il teorema con
f(x)=sqrt x e g(x)=1/(3-x)
si risolve il problema.
una istanza di un teorema.
È dimostrabile per f,g definite su un generico intervallo (a,b) e tali che esiste c : a<c<b per cui f(c) > g(c)
A meno di stringere l'intervallo di un pochino agli estremi (che chiamiamo a>0 e b<3) possiamo assumere f e g continue (in quanto lipschitziane in [a,b]). posto h = f-g, h e' continua strettamente concava in [a,b] e per la permanenza del segno possiamo anche supporre h(a) e h(b) <0. Inoltre per ipotesi h(1)>0. A questo punto e' evidente che esistano almeno due radici xi_1 e xi_2 distinte, applicando il teorema dei valori intermedi alle restrizioni di h in [a,1] e [1,b]. Il fatto che non ci possa essere alcuna altra radice distinta c si prova sfruttando la stretta concavità:0=h(c) > theta_c f(xi_1) + (1-theta_c) f(xi_2)=0 (dove theta_c e' il parametro tale che theta_c xi_1+(1-theta_c) xi_2 = c
Trovo due soluzioni, ma non ho nessun metodo "furbo" se non risolvere l'equazione x = 1/(x-3)² (con la condizione 0 ≤ x < 3) che si riconduce alla cubica x³ - 6x² + 9x - 1 = 0, che ha massimo locale in (1,3) e minimo locale in (3,-1) (e quindi due soluzioni comprese tra 0 e 3, dato che vale -1 per x = 0).
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