Penso che scrivendola così si ottenga qualcosa
(x^2)^2+(2y)^2=(z)^2
Usando infatti le terne pitagoriche
x^2=m^2-n^2
2y=2mn
z=m^2+n^2
E cercando degli interi opportuni per cui m^2-n^2 sia un quadrato perfetto si arriva alla soluzione, partirei da un esempio semplice con m=5 e n=3 per poi generalizzare.
Con m=5 e n=3 otterremo
x^2=16 -->x=±4
2y=30-->y=15
z=34
Infatti
(±3)^4+(30)^2=256+900=1156=(34)^2
Ciò mi porta a pensare che data una terna
pitagorica (a,b,c) possiamo ricavare un'altra terna pitagorica (x^2,2y,z)
ponendo
x^2=c^2-a^2=b^2 -->x=±b
2y=2a•c-->y=a•c
z=sqrt(x^4+4y^2)
con (3,4,5) otteniamo la terna (16,30,34) che ho visto prima da cui x=±4, y=15 e z=34
Con la terna (5,12,13) ottengo (144,130,194)
Con x=±12, y=65 e z=194
se
a=m^2-n^2
b=2mn
c=m^2+n^2
Segue che
x^2=4m^2n^2
-->x=±2mn
2y=2(m^2-n^2)(m^2+n^2)
-->y=m^4-n^4
z=sqrt(16m^4n^4+4(m^8+n^8-2m^4n^4)=
sqrt(4(m^4+n^4)^2)= 2(m^4+n^4)
Z=2(m^4+n^4)
Quindi
x=±2mn
y=m^4-n^4
z=2(m^4+n^4)
Per m=2 e n=1 abbiamo
(a,b,c)=(3,4,5)
(x,y,z)=(±4,15,34)
Per m=3 e n=2
(a,b,c)=(5,12,13)
(x,y,z)=(±12,65,194)
Supponendo x, y primi tra loro e con z, x deve essere dispari e y pari. Così ottieni le terne primitive (con z dispari)