ragiono così, per trovare una soluzione:
x^2 -2xy + y^2 +2y^2 -5zt = 0
(x-y)^2 + 2y^2 -5zt = 0
(x-y)^2 +2y^2 = 5zt
la somma dei due termini di secondo grado a primo membro deve essere multiplo di 5, pertanto:
1,4,9,6,5 +2*(1,4,9,6,5) =
le cifre finali di (x-y)^2 possono essere:
1,4,9,6,5
Quelle di 2y^2 possono essere:
0, 2, 8
Sono ammesse soltanto: 5,0
da ciò deduco che (x-y) % 5 = 0, y % 5 = 0
x = 5, y=5
dà come soluzione:
50 = 5 zt
10 = zt -> z = 1,2, t = 10,5 e viceversa
ho quindi 4 soluzioni
x=5, y = 5, z= 2, t = 5
x=5, y = 5, z= 5, t = 2
x=5, y = 5, z= 1, t = 10
x=5, y = 5, z= 10, t = 1
x = 10 y = 10
200 = 5zt
40 = zt
che ammette tutte le coppie di divisori di 40, tra loro scambiate:
quindi per x=y=2*5, abbiamo 8 soluzioni, derivanti dalle 4 coppie seguenti:
1,40; 2,20; 4,10, 5,8
per k = 3 x = y = k*5 = 15, otteniamo:
450 = 5zt
90 = zt, con soluzioni:
1, 90; 2,45; 3,30, 5,18, 6,15, 9,10, tra loro invertite, pertanto per x = y = 5k, con k = 3, si ha un totale di 12 soluzioni.
esiste quindi un primo insieme di soluzioni:
x = k = 5k con k>0, dai quali poi si calcolano facilmente tutte le 4k soluzioni.
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Per le soluzioni con x<>y mi sembra di poter dedurre:
y = 5a; x = 5 + 10b con a>0, b>=0
y = 5, x = 15
100 + 50 = 150 = 5zt
30 = zt
con z e t coppie di divisori di 30: 1,30; 2,15, 3,10, 5,6 con numeri tra loro intercambiabili.
una soluzione che ammette tali condizioni è, ad esempio:
x= 15, y=5, z=1, t=30
ne seguono altre sette.