Determinare le soluzioni intere positive dell'equazione X³ - Y³ = Z²

Riporto di seguito le considerazioni per trovare la soluzione all'equazione almeno quando x e y sono coprimi.

Ricordiamo innanzitutto una proprietà che verrà utilizzata più volte.

Data l’equazione diofantea

(0) x² + 3y² = z²

tutte le soluzioni, a meno di un fattore, sono espresse dalle seguenti due insiemi di relazioni:

(1)

x = 3m² - n²

y = 2mn

z = 3m² + n²

(2)

x = m² +2mn - 2n²

y = m(m - 2n)

z = 2(m² -mn + n²)

dove m e n so coprimi e dove le (1) rappresentano le soluzioni con z dispari, x dispari e y pari mentre le (2) rappresentano le soluzioni con z pari, x e y dispari.

Ciò premesso l’equazione diofantea in esame può essere riscritta con la seguente fattorizzazione:

(x - y)(x² + xy + y²) = z²

La soluzione generale può essere rappresenta nella forma:

(3) x - y = tr²

(4) x² + xy + y² = ts²

(5) z = trs

Ricavando la y dalla (3) e sostituendola nella (4) e ricavando x si trova agevolmente:

(6) x = {3tr² ±√[3t(4s² - tr⁴]}/6

Affinchè la precedente abbia soluzioni razionali è necessario che

(7) 4s² - tr⁴ = 3tk²

Da cui si evince che s deve essere multiplo di t:

(8 ) s = t*p

con p intero arbitrario. Sostituendo la (8 ) nell (7) e riadattando si ricava:

(9) (r²)² + 3k² = t(2p)²

Sostituendo

con k intero arbitrario

Sostituendo la (7) nella (6) e usando anche le (8 ), (3) e (5) ricaviamo intanto x, y, z:

(10) x = t/2(r² ± k)

(11) y = t/2(r² ± k)

(12) z = t²rp

Supponiamo ora t = 1 (che per le 10 e 11 equivale a dire che x e y siano coprimi).

Osservando che la (9) è della forma della (0) e che stiamo cercando solo le soluzioni con z pari, la soluzione è del tipo della (2) che con le variabili in gioco diventa:

(13) r² = m² +2mn -2n²

(14) k = m(m-2n)

(15) 2p = 2(m² -mn + n²) —> p = m² -mn + n²

Dalla (13) possiamo ricavare m in funzione di n e r:

(16) m = -n ± √(r² + 3n²)

Perchè la precedente abbia soluzioni intere è necessario imporre:

(17) r² + 3n² = q²

Ma questa ancora è nella forma della (0) e in questo caso abbiamo due insiemi di soluzioni:

(18 )

r = 3a² - b²

n = 2ab

q = 3a² + b²

(19)

r = a² +2ab - 2b²

n = a(a- 2b)

q = 2(a² -ab + b²)

Le (18 ) e (19) possono essere utilizzate nelle (14) e (15) per ricavare k e p che, insieme all’espressione di r, possono essere utilizzate per ricavare nelle (10), (11) e (12) le incognite x, y, z. Si ottengono 4 serie di soluzioni (2 perché sono valide sia la 18 che la 19 moltiplicate per due soluzioni dovute al ± della 16),

I passaggi sono noiosi quindi riporto solo il risultato finale:

(20)

x = 9a⁴ - 12a³b + 6a²b² - 4ab³ + b⁴

y = 4ab(3ab - b² - 3a²)

z = (3a² -b²)(9a⁴ - 18a³b + 18a²b² - 6ab³ + b⁴)

(21)

x = 9a⁴ + 12a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

y = 4ab(3ab + b² + 3a²)

z = (3a² -b²)(9a⁴ + 18a³b + 18a²b² + 6ab³ + b⁴)

(22)

x = 4b(a³ + b³)

y = a(2b - a)(a² + 4b² + 2ab)

z = (a² +2ab - 2b²)(a⁴ - 2a³b + 6a²b² + 4ab³ + 4b⁴)

(23)

x = 9a⁴ - 12a³b + 6a²b² - 4ab³ + b⁴

y = a(a - 2b)(7a² + 4b² -10ab)

z = (a² +2ab - 2b²)(13a⁴ - 38a³b + 42a²b² - 20ab³ + 4b⁴)

Le (21), (22), (23) e (24) sono le soluzioni dell’equazione quando t = 1 quindi con x e y coprimi.

Da osservare che tra la (20) e la (21) solo una è indipendente perché si ottengono una dall’altra cambiando il segno di a o b.

Cosa possiamo dire se t è diverso da 1 quindi se x e y non sono coprimi?

Riporto di seguito la (9)

(9) (r²)² + 3k² = t(2p)²

Da questa si può vedere che t deve essere sicuramente della forma t = c² + 3d² perché deve essere un divisore di (r²)² + 3k².

Anche fattorizzando (r²)² + 3k² = (e² + 3f²)(c² + 3d²) una soluzione generale di questo caso credo non si riesca a trovare, o almeno io non sono riuscito.

Fissando però a e b e ricordando l’identità (e²+3f²)(c²+3d²)=(ec∓3fd)²+3(ed±fc)² si può provare a trovare una soluzione caso per caso.